第 8 章 堆

摘要

堆就像是山岳峰峦，层叠起伏、形态各异。

座座山峰高低错落，而最高的山峰总是最先映入眼帘。

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堆

堆（heap）是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为两种类型，如下图所示。

• 小顶堆（min heap）：任意节点的值 $\leq$ 其子节点的值。
• 大顶堆（max heap）：任意节点的值 $\geq$ 其子节点的值。

堆作为完全二叉树的一个特例，具有以下特性。

• 最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满。
• 我们将二叉树的根节点称为“堆顶”，将底层最靠右的节点称为“堆底”。
• 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（根节点）的值是最大（最小）的。

堆的常用操作

需要指出的是，许多编程语言提供的是优先队列（priority queue），这是一种抽象的数据结构，定义为具有优先级排序的队列。

实际上，堆通常用于实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小的顺序出队的优先队列。从使用角度来看，我们可以将“优先队列”和“堆”看作等价的数据结构。因此，本书对两者不做特别区分，统一称作“堆”。

堆的常用操作见下表，方法名需要根据编程语言来确定。

表   堆的操作效率

方法名	描述	时间复杂度
push()	元素入堆	$O(\log n)$
pop()	堆顶元素出堆	$O(\log n)$
peek()	访问堆顶元素（对于大 / 小顶堆分别为最大 / 小值）	$O(1)$
size()	获取堆的元素数量	$O(1)$
isEmpty()	判断堆是否为空	$O(1)$

在实际应用中，我们可以直接使用编程语言提供的堆类（或优先队列类）。

类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”，我们可以通过设置一个 flag 或修改 Comparator 实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。代码如下所示：

/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
// 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可）
Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);

/* 元素入堆 */
maxHeap.offer(1);
maxHeap.offer(3);
maxHeap.offer(2);
maxHeap.offer(5);
maxHeap.offer(4);

/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.peek(); // 5

/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
peek = maxHeap.poll(); // 5
peek = maxHeap.poll(); // 4
peek = maxHeap.poll(); // 3
peek = maxHeap.poll(); // 2
peek = maxHeap.poll(); // 1

/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.size();

/* 判断堆是否为空 */
boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();

/* 输入列表并建堆 */
minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));

堆的实现

下文实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆，只需将所有大小逻辑判断进行逆转（例如，将 $\geq$ 替换为 $\leq$ ）。感兴趣的读者可以自行实现。

堆的存储与表示

“二叉树”章节讲过，完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，因此我们将采用数组来存储堆。

当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。节点指针通过索引映射公式来实现。

如下图所示，给定索引 $i$ ，其左子节点的索引为 $2i + 1$ ，右子节点的索引为 $2i + 2$ ，父节点的索引为 $(i - 1) / 2$（向下整除）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。

我们可以将索引映射公式封装成函数，方便后续使用：

for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
    siftDown(i);
}

访问堆顶元素

堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素：

/* 访问堆顶元素 */
public int peek() {
    return maxHeap.get(0);
}

元素入堆

给定元素 val ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏，因此需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点，这个操作被称为堆化（heapify）。

考虑从入堆节点开始，从底至顶执行堆化。如下图所示，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。

第 1 步

第 2 步

第 3 步

第 4 步

第 5 步

第 6 步

第 7 步

第 8 步

第 9 步

设节点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O(\log n)$ 。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ ，元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$ 。代码如下所示：

siftUp(size() - 1);

堆顶元素出堆

堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化进行修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采用以下操作步骤。

1. 交换堆顶元素与堆底元素（交换根节点与最右叶节点）。
2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，因此实际上删除的是原来的堆顶元素）。
3. 从根节点开始，从顶至底执行堆化。

如下图所示，“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。

第 1 步

第 2 步

第 3 步

第 4 步

第 5 步

第 6 步

第 7 步

第 8 步

第 9 步

第 10 步

与元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 $O(\log n)$ 。代码如下所示：

siftDown(i);

堆的常见应用

• 优先队列：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 $O(\log n)$ ，而建堆操作为 $O(n)$ ，这些操作都非常高效。
• 堆排序：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。然而，我们通常会使用一种更优雅的方式实现堆排序，详见“堆排序”章节。
• 获取最大的 $k$ 个元素：这是一个经典的算法问题，同时也是一种典型应用，例如选择热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取销量前 10 的商品等。

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建堆操作

在某些情况下，我们希望使用一个列表的所有元素来构建一个堆，这个过程被称为“建堆操作”。

借助入堆操作实现

我们首先创建一个空堆，然后遍历列表，依次对每个元素执行“入堆操作”，即先将元素添加至堆的尾部，再对该元素执行“从底至顶”堆化。

每当一个元素入堆，堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的，因此堆是“自上而下”构建的。

设元素数量为 $n$ ，每个元素的入堆操作使用 $O(\log{n})$ 时间，因此该建堆方法的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。

通过遍历堆化实现

实际上，我们可以实现一种更为高效的建堆方法，共分为两步。

1. 将列表所有元素原封不动地添加到堆中，此时堆的性质尚未得到满足。
2. 倒序遍历堆（层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。

每当堆化一个节点后，以该节点为根节点的子树就形成一个合法的子堆。而由于是倒序遍历，因此堆是“自下而上”构建的。

之所以选择倒序遍历，是因为这样能够保证当前节点之下的子树已经是合法的子堆，这样堆化当前节点才是有效的。

值得说明的是，由于叶节点没有子节点，因此它们天然就是合法的子堆，无须堆化。如以下代码所示，最后一个非叶节点是最后一个节点的父节点，我们从它开始倒序遍历并执行堆化：

/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
public MaxHeap(List<Integer> nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = new ArrayList<>(nums);
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
        siftDown(i);
    }
}

复杂度分析

下面，我们来尝试推算第二种建堆方法的时间复杂度。

• 假设完全二叉树的节点数量为 $n$ ，则叶节点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此需要堆化的节点数量为 $n / 2$ 。
• 在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $\log n$ 。

将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。但这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的性质。

接下来我们来进行更为准确的计算。为了降低计算难度，假设给定一个节点数量为 $n$ 、高度为 $h$ 的“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。

如上图所示，节点“从顶至底堆化”的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”。因此，我们可以对各层的“节点数量 $\times$ 节点高度”求和，得到所有节点的堆化迭代次数的总和。

$$T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{(h-1)}\times1$$

化简上式需要借助中学的数列知识，先将 $T(h)$ 乘以 $2$ ，得到：

$$\begin{aligned} T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{h-1}\times1 \newline 2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \dots + 2^{h}\times1 \newline \end{aligned}$$

使用错位相减法，用下式 $2 T(h)$ 减去上式 $T(h)$ ，可得：

$$2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{h-1} + 2^h$$

观察上式，发现 $T(h)$ 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为：

$$\begin{aligned} T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline & = 2^{h+1} - h - 2 \newline & = O(2^h) \end{aligned}$$

进一步，高度为 $h$ 的完美二叉树的节点数量为 $n = 2^{h+1} - 1$ ，易得复杂度为 $O(2^h) = O(n)$ 。以上推算表明，输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，非常高效。

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Top-k 问题

提问

给定一个长度为 $n$ 的无序数组 nums ，请返回数组中最大的 $k$ 个元素。

对于该问题，我们先介绍两种思路比较直接的解法，再介绍效率更高的堆解法。

方法一：遍历选择

我们可以进行下图所示的 $k$ 轮遍历，分别在每轮中提取第 $1$、$2$、$\dots$、$k$ 大的元素，时间复杂度为 $O(nk)$ 。

此方法只适用于 $k \ll n$ 的情况，因为当 $k$ 与 $n$ 比较接近时，其时间复杂度趋向于 $O(n^2)$ ，非常耗时。

提示

当 $k = n$ 时，我们可以得到完整的有序序列，此时等价于“选择排序”算法。

方法二：排序

如下图所示，我们可以先对数组 nums 进行排序，再返回最右边的 $k$ 个元素，时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。

显然，该方法“超额”完成任务了，因为我们只需找出最大的 $k$ 个元素即可，而不需要排序其他元素。

方法三：堆

我们可以基于堆更加高效地解决 Top-k 问题，流程如下图所示。

1. 初始化一个小顶堆，其堆顶元素最小。
2. 先将数组的前 $k$ 个元素依次入堆。
3. 从第 $k + 1$ 个元素开始，若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆，并将当前元素入堆。
4. 遍历完成后，堆中保存的就是最大的 $k$ 个元素。

第 1 步

第 2 步

第 3 步

第 4 步

第 5 步

第 6 步

第 7 步

第 8 步

第 9 步

示例代码如下：

/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
static Queue<Integer> topKHeap(int[] nums, int k) {
    // 初始化小顶堆
    Queue<Integer> heap = new PriorityQueue<Integer>();
    // 将数组的前 k 个元素入堆
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        heap.offer(nums[i]);
    }
    // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
    for (int i = k; i < nums.length; i++) {
        // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if (nums[i] > heap.peek()) {
            heap.poll();
            heap.offer(nums[i]);
        }
    }
    return heap;
}

总共执行了 $n$ 轮入堆和出堆，堆的最大长度为 $k$ ，因此时间复杂度为 $O(n \log k)$ 。该方法的效率很高，当 $k$ 较小时，时间复杂度趋向 $O(n)$ ；当 $k$ 较大时，时间复杂度不会超过 $O(n \log n)$ 。

另外，该方法适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时，我们可以持续维护堆内的元素，从而实现最大的 $k$ 个元素的动态更新。

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小结

重点回顾

• 堆是一棵完全二叉树，根据成立条件可分为大顶堆和小顶堆。大（小）顶堆的堆顶元素是最大（小）的。
• 优先队列的定义是具有出队优先级的队列，通常使用堆来实现。
• 堆的常用操作及其对应的时间复杂度包括：元素入堆 $O(\log n)$、堆顶元素出堆 $O(\log n)$ 和访问堆顶元素 $O(1)$ 等。
• 完全二叉树非常适合用数组表示，因此我们通常使用数组来存储堆。
• 堆化操作用于维护堆的性质，在入堆和出堆操作中都会用到。
• 输入 $n$ 个元素并建堆的时间复杂度可以优化至 $O(n)$ ，非常高效。
• Top-k 是一个经典算法问题，可以使用堆数据结构高效解决，时间复杂度为 $O(n \log k)$ 。

Q & A

Q：数据结构的“堆”与内存管理的“堆”是同一个概念吗？

两者不是同一个概念，只是碰巧都叫“堆”。计算机系统内存中的堆是动态内存分配的一部分，程序在运行时可以使用它来存储数据。程序可以请求一定量的堆内存，用于存储如对象和数组等复杂结构。当这些数据不再需要时，程序需要释放这些内存，以防止内存泄漏。相较于栈内存，堆内存的管理和使用需要更谨慎，使用不当可能会导致内存泄漏和野指针等问题。

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练习

知识巩固

数字 10 入堆后怎样调整

数组 [9, 7, 8, 3, 5] 表示一个大顶堆。现在将数字 10 入堆。

1. 先把 10 添加到数组末尾，它的父节点值是多少？
2. 从新节点开始向上堆化，写出每次交换后的数组。
3. 最终的堆顶元素是什么？一共交换了几次？

参考答案

1. 10 添加后的索引为 5，其父节点索引为
   $\lfloor(5-1)/2\rfloor=2$，父节点值为 8。

2. 10 大于 8，第一次交换后为 [9, 7, 10, 3, 5, 8]；
   10 又大于父节点 9，第二次交换后为 [10, 7, 9, 3, 5, 8]。
   此时 10 已到达根节点，堆化结束。

3. 最终堆顶为 10，共交换 2 次。

检查小顶堆的父子关系

数组 [1, 4, 3, 7, 6, 2] 表示一棵完全二叉树。小顶堆要求每个父节点都不大于它的孩子。
对索引 $i$，左、右孩子索引分别为 $2i+1$ 和 $2i+2$。

1. 索引 2 的孩子索引和值分别是什么？
2. 索引 2 处的节点值为 3，它与孩子节点之间是否违反小顶堆规则？如果违反，应交换哪两个元素？
3. 根据第 2 问的判断：若违反规则，写出交换后的数组；若不违反，说明无须交换。最后检查其余父子关系。

参考答案

1. 索引 2 的左孩子索引是 5、值为 2；右孩子索引是 6，但数组长度为 6，因此右孩子不存在。

2. 父节点值 3 大于孩子值 2，违反小顶堆规则，应交换索引 2 和索引 5 的元素。

3. 交换后得到 [1, 4, 2, 7, 6, 3]。逐一检查：
   1 ≤ 4、1 ≤ 2；4 ≤ 7、4 ≤ 6；2 ≤ 3。
   所有父节点都不大于自己的孩子，因此现在满足小顶堆规则。

用小顶堆保留最大的三个数

要从数据流 [4, 1, 7, 3, 8] 中保留最大的 3 个数，可以维护一个大小不超过 3 的小顶堆。

先把前 3 个数依次放入小顶堆。堆满后，每读入一个新数：
如果它大于堆顶，就删除堆顶并放入新数；否则堆保持不变。

请写出每次读入数字后堆中保留的数字和堆顶。
只需把保留的数字写成集合，不要求写出它们在堆数组中的排列。

参考答案

每次读入数字后的结果如下：

读入数字	保留的数字	堆顶
4	{4}	4
1	{1, 4}	1
7	{1, 4, 7}	1
3	{3, 4, 7}	3
8	{4, 7, 8}	4

堆满后，堆顶是当前保留数字中最小的一个。只有新数字大于堆顶时，
才用新数字替换堆顶。最终保留的 {4, 7, 8} 正是最大的 3 个数。

编程练习

寻找数组中的第 k 大元素

给定整数数组 nums 和整数 $k$，其中 $1 \le k \le n$，$n$ 是数组长度。把数组按从大到小排列后，请返回第 $k$ 个位置上的元素。

重复元素需要分别计数。例如，[5, 5, 2] 的第 2 大元素仍是 5。请使用一个大小不超过 $k$ 的小顶堆完成。

解题提示

1. 第 k 大元素是最大的 k 个数中最小的那个
2. 每个数先入小顶堆，大小超过 k 时弹出最小值
3. 遍历结束时堆中保留最大的 k 个数，堆顶就是答案

LeetCode{ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" } 题目解析{ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }

说明： 链接中的题解讲解了快速排序和快速选择，没有使用堆；本练习请按照正文 8.3 节使用大小不超过 k 的小顶堆完成