数学基础

一.集合

概念
一些确定对象组成的整体

常见集合

空集、自然数集（N）、有理数集（Z）、实数集（R）、复数集（C）

元素和集合的关系

属于（∈），不属于，表示时元素在左，集合在有，不可更换位置

集合特点

无序性、互异性

表示一个集合的两种方法
列举法、描述法

集合与集合之间的关系
1.包含
集合A中任意一个元素都在集合B中，集合A是集合B的子集
1）空集是所有集合的子集，集合A是集合A的子集
2）真子集，集合B中存在元素不在集合A中，此时集合A是集合B的真子集
2.非包含
集合A中有元素不在集合B中，同时集合B中有元素不在集合A中

**集合运算 **
并集：将两个集合合并
交集：求两个集合共有的元素组成的集合
全集：声明研究的问题所涉及的所有元素
补集：全集中减去某个集合，剩下的元素组成的集合为该集合的补集

二.函数

映射
A中每一个元素，在B中都能找到唯一值与之对应，记为f:a->b，函数的本质是映射
函数
三要素：定义域、对应法则、值域，仅定义域+对应法则可推导出值域，其他不可相互推导
表示法：列表、描述、图像
**反函数 **
一个函数f(a)如果其值域里的每一个值，能找到定义域里的唯一自变量与之对应，那么这个对应法则所构成的函数为f(a)的反函数，记做
x=f-1(y)
**单调性 **
描述函数在某一定义域（连续区间），值随自变量的变化而变化的单一趋势，分为单调增、单调减，并不是所有函数都有单调性
求：f(x)=axx+b*x+c的单调性
结论：
1)当a>0时，x在（-b/2a,+oo)单调增，（-oo,-b/2a)单调减
1)当a>0时，x在（-b/2a,+oo)单调减，（-oo,-b/2a)单调增

复合函数单调性
y=g(f(x))
f(x)为增函数，g(x)为增函数，g(f(x))为增函数
f(x)为减函数，g(x)为减函数，g(f(x))为增函数
f(x)为增函数，g(x)为减函数，g(f(x))为减函数
f(x)为减函数，g(x)为增函数，g(f(x))为减函数

复合函数单调性总结
1.复合函数，同增异减
2.增函数+增函数，结果为增函数
3.奇函数+奇函数，结果为奇函数
4.奇函数*奇函数，结果为偶函数
5.奇函数+奇函数，结果为奇函数

函数奇偶性
奇函数，函数关于原点对称
偶函数，函数关于y轴对称

指数函数

y=a**x,底数a为常量（a>0且a!=1）,x为自变量（x∈R）

底数大于1，函数在（-oo,oo)为单调增
底数小于1，函数在（-oo,oo)为单调减
对于两个指数函数，幂指数相同，底数越大，函数值越大

对数
log10(20)=lg10(20)
loge(20)=ln(20)
计算法则：
loga(mn)=loga(m)+loga(n) loga(m/n)=loga(m)-loga(n) loga(pow(m,z))=zloga(m) 由换底公式推导： loga(b)logb(a)=1
laga(b)logb(c)=loga(c) log(an,b)=1/nloga(b)

对数函数

以真数为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。对数函数是指数函数的反函数,因此对数函数单调性与同底数的指数函数相同

log(a,x),其中a!=1且a>0,自变量x ∈ (1，+oo)

三角函数
研究直角三角形某一个角，其对边、邻边，斜边之间的比例关系。将其放入坐标系中，斜边的一点与远点重合，并且斜边长度恒定为1，进行旋转，此时对边、邻边、斜边的比例关系，就转换成了斜边另一端点的横坐标、纵坐标的大小、比例关系
由勾股定理可知，a^2^+b^2^=c^2^,而斜边另一端的端点坐标为（cos∝，sin∝），即可推断出，sin∝^2^+cos∝^2^=1

诱导公式
1.终轴重合
sin(2kΠ+∝)=sin(∝)其中k∈Z
cos(2kΠ+∝)=cos(∝)其中k∈Z
tan(2kΠ+∝)=tan(∝)其中k∈Z
cot(2kΠ+∝)=cot(∝)其中k∈Z
2.终轴关于Y轴对称
sin((2k-1)Π-∝)=sin(∝)其中k∈Z
cos((2k-1)Π+∝)=-cos(∝)其中k∈Z
tan((2k-1)Π+∝)=-tan(∝)其中k∈Z
cot((2k-1)Π+∝)=-cot(∝)其中k∈Z
3.终轴反向
sin((2k-1)Π-∝)=-sin(∝)其中k∈Z
cos((2k-1)Π+∝)=-cos(∝)其中k∈Z
tan((2k-1)Π+∝)=tan(∝)其中k∈Z
cot((2k-1)Π+∝)=cot(∝)其中k∈Z
4.终轴关于X轴对称
sin(2kΠ+∝)=-sin(2kΠ-∝)其中k∈Z
cos(2kΠ+∝)=cos(2kΠ-∝)其中k∈Z
tan(2kΠ+∝)=-tan(2kΠ-∝)其中k∈Z
cot(2kΠ+∝)=-cot(2kΠ-∝)其中k∈Z
5.终轴关于y=X轴对称
即两个角分别为∝，Π/2-∝，两个终轴的另一端点的坐标分别为(a,b),(b,a)
sin∝=cos((2kΠ+Π/2-∝)其中k∈Z
cos∝=sin((2kΠ+Π/2-∝)其中k∈Z
tan∝=cot((2kΠ+Π/2-∝)其中k∈Z
奇变偶不变，符号看象限

三角恒等变换
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)

tan(a+b)=tan(a)+tan(b)/(1-tan(a)tan(b)) tan(a-b)=tan(a)-tan(b)/(1+tan(a)tan(b))

sin(2a)=2sin(a)(cos(a)) cos(2a)=cos(a)2-sin(a)2=2cos(a)2-1=1-2sin(a)2 tan(2a)=2tan(a)/(1-tan(a)*2)

三角形面积公式
1.已知三角形3边a,b,c
p=(a+b+c)/2
s=sqrt(p(a-p)(b-p)(c-p)) 2.已知三角形内切圆半径为r，三边为a,b,c s=(a+b+c)r/2
3.已知三角形外接圆半径R,三遍分别为a,b,c
s=abc/(4R) 4.已知三角形两边a,b,和夹角C s=ab*sin(C）/2

三角形边与角的大小关系
a>b,其充分必要条件时A>B

正弦定理
a/sin(A)=b/sin(B)=b/sin(B)=2R

余弦定理
a2+b2-2abcos(C)=c2 b2+c2-2bccos(A)=a2
a2+c2-2accos(B)=b*2

幂函数
y=x**a,底数为自变量，指数为常数的函数

1.a∈(0,oo),函数为增函数
a为整数，如果a为奇数时，函数为奇函数，反之函数为偶函数
a为小数，如果分母为偶数，函数为非奇非偶函数；如果分母是奇数，分子是奇数，函数为奇函数；如果分母是奇数，分子是偶数，函数为偶函数；
函数会经过（0，0），（1，1）

2.a=0,函数为y=1且x!=0

3.a∈(-oo,0),函数为减函数
a为整数，如果a为奇数时，函数为奇函数，反之函数为偶函数
a为小数，如果分母为偶数，函数为非奇非偶函数；如果分母是奇数，分子是奇数，函数为奇函数；如果分母是奇数，分子是偶数，函数为偶函数；
函数会经过（1，1）

三.向量

矢量，有大小、方向的数学定义，物理中如力，既有大小又有方向，但是没有空间位置，故向量在坐标中表示为以原点为起点，其他任意点为终点，如向量a，在坐标中表示为(a,b)

结论
已知平面内2个向量，可推导出任意一个向量

向量点乘
a·b=|a||b|cos(θ)=常数，如坐标分别为（x1,y1),(x2,y2),相乘结果为x1x2+y1y2,如果两个向量垂直，x1x2+y1y2=0
两个向量点乘的等式不可化简

三点共线关系
向量AB,AE,AC,其中B、E、C共线，可得出AE=λ1·AB+λ2·AE,并且λ1+λ2=1

四.数列

定义域在n∈[1,oo]且n∈Z的函数

等差数列
数列中，相邻两个数之差为一个常数，an=a1+（n-1）d 其中n∈[1,oo]且n∈Z, sn= (a1+a1+nd)0.5n

等比数列
数列中，相邻两个数之商为一个常数，an=a1d（n-1）,其中a1,d不能为0，n∈[1,oo]且n∈Z q=1时，sn=na1
q!=1时，sn=a1*(1-qn)/(1-q)
对于一个等比数列，sn,s(2n-n),s(3n-2n)也为等比数列

五.不等式

均值不等式
a+b>=2(ab)0.5 (a+b)2/4>=ab
一正二定三相等

六.解析几何

直线
坐标系中，一条直线的斜率为k，与x轴正方向形成的夹角θ，那么tanθ=k;
直线上有两点A（x1,y1），B(x2,y2)，|AB|=（（x2-x1)2-(y2-y1)2)0.5=(1+k2)|x1-x2| 一般式：ax+by+c=0 点斜式：y0-y1=k(x0-x1)(应用范围：有斜率） 截距式：x/a+y/b=1(应用范围：有截距） 点到直线距离： 已知一个点（x0,y0),直线ax+by+c=0,那么这个点到这条直线的距离是l=|ax+by+c|/(a2+b2)*0.5

圆
平面内以一个定点为中心，另一动点保持与中心不变的距离旋转一圈所形成的轨迹
式1：(x-a)2+(y-b)2=c,其中c>0
式2：x2+y2+dx+ey+f=0,可推导出(x+d/2）2+（y+e/2)2=(d2+e2-4f)/4,其中d2+e2-4f>0

椭圆
平面内以两个定点为焦点，另一动点保持到量定点的距离之和保持不变旋转一圈所形成的轨迹
焦点坐标分别为（-c,0) ,(c,0),动点到焦距的和为2a
((x+c)2+y2)0.5+((x-c)2+y2)0.5=2a化简后得到x2/(a2)+y2/(a2-c2)=1 其中a2对应的分子如果是x，说明焦点在x轴上，反之亦然
准线：x=+-a2/c或y=+-a2/c
离心率e=c/a,焦点距离与长轴的比值，或轨迹上一点到焦点的距离与该点到准线的距离的比值，范围（0，1）

双曲线
平面内到两个定点距离之差为一个常数（记为2a）所形成的轨迹
焦点坐标分别为（-c,0) ,(c,0),动点到焦距的和为2a
((x+c)2+y2)0.5-((x-c)2+y2)0.5=2a化简后得到x2/(a2)-y2/(c2-a2)=1 其中a2对应的分子如果是x，说明焦点在x轴上，反之亦然
准线：x=+-a2/c或y=+-a2/c
离心率e=c/a,轨迹上一点到焦点的距离与该点到准线的距离的比值，范围（1，oo）

抛物线
动点到定点距离与到直线距离相等的轨迹
x2=2py或y2=2px,其中p!=0，p为焦准距, p/2=c=a
离心率e=1

七.导数

一个函数f(x)，自变量在x0处产生增量Δx，函数输出值的增量Δy与Δx的比值，在Δx趋近0时的极限如果存在，此时这个极限值就是函数在x0的导数，记做f'(x0)=lim（Δy/Δx）=lim(f(x0+Δx)/Δx),其中Δx趋近0

常见导数
常数导数 f(x)=c f'(x)=0
指数导数 f(x)=ax f'(x)=ax * ln(a)
对数函数 f(x)=lna f'(x)=1/a
f(x)=lnx/lna f'(x)=1/(xlna) 幂导数 f(x)=xn f'(x)=nx(n-1)
正弦导数 f(x)=sinx f'(x)=cosx
余弦导数 f(x)=cosx f'(x)=-sinx

导数运算
(u+-v)'=u'+-v'
(uv)'=u'v+uv' (u/v)'=(u'v-u*v')/v^2^
导数与函数单调性的关系
导数>0,函数单调增
导数<0,函数单调减
导数=0，该点可能时函数的极值，也有可能不是（反过来，函数极值的那个点，导数为0）

复合函数单调性的理解
复合函数f(x)=f(g(x))
分解成两个函数f(x)=f(u),u=g(x)
f'(x)=f'(u)*g'(x)
函数的单调性由其导数的正负性决定（正相关），而复合函数的单调性为其构成函数的导数的乘积，故出现复合函数单调性由其构成函数单调性决定，即“同增异减”
奇函数的导数为偶函数，偶函数的导数为奇函数

八.一元二次方程解法

ax^2^+bx+C=0

1）开平方法

（1）计算Δ看是否有解
Δ=b*b-4ac
if Δ>0：
方程有两个不等实数根
elif Δ==0:
方程有两个相等实数根
else:
方程无实数根

（2）求解

if(Δ>=0)：
x1=(-b+math.sqrt(bb-4ac))/(2a) x2=(-b-math.sqrt(bb-4ac))/(2a)
由此可推导出：
x1+x2=-(b/a)
x1*x2=c/a

2)配方法

（a+b)(a+b)=aa+2ab+bb （a-b)(a-b)=aa-2ab+bb
根据此规律，将一元二次方程转换成某个表达式的平方，再同时开方求解
如：aa+4a-21=0,求a的值 解：转换成（a+2)(a+2)=25
同时开方a+2=5 or -5
即a=3 or -7

3)因式分解

（a+b)(a-b)=aa+ab-ab-bb=aa-bb 由此可知，两个表达式相乘，两个表达式每一项相乘的结果相加得到最终结果 利用此原理，axx+bx+c=0,假如a=a1a2,c=c1c2，那么如果b=a1c2+a2c1,方程可转换成（a1x+c1)(a2x+c2)=0
可求得x1=-c1/a1 ,x2=-c2/a2