函数与极限

1.映射

设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f使得，X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，f为从X到Y的映射。记作：f：X → Y

1）像和原像

y元素称为元素x（在映射f下）的像，记作：y = f(x)
元素x称为元素y（在映射f下）的原像

2）定义域和值域

集合X称为映射f的定义域，记作D~f~，即D~f~ = X
X中所有元素的像组成的集合称为映射f的值域，记作R~f~或f(X)

3）单射和满射

f是集合X到集合Y的映射，若R~f~ = Y，即Y中任一个元素都是X中某一元素的像，则称f为X到Y的满射
若X中任意两个元素x~1~ ≠ x~2~，它们的像f(x~1~) ≠ f(x~2~),则称f为X到Y的单射
如果一个映射f即是单射，又是满射，则称f为一一映射或双射

4）泛函和变换

非空集X到数集Y的映射称为X上的泛函，非空集X到它自身的映射称为变换

2.逆映射与复合映射

设f是X到Y的单射，对于每一个y∈R~f~，都有唯一的x∈X与之对应，可定义一个从R~f~到X的映射g，即 f:R~y~ → X，g称为f的逆映射，记作f^-1^，其定义域为R~f~，值域为X

设两个映射
g:X→Y~1~ ，f:Y~2~→Z
Y~1~是Y~2~的子集，可由映射g和f共同确定一个从X到Z的映射，这俄格映射称为复合映射

3.函数

设数集D⊆R，映射f:D→R为定义在D上的函数，即函数是一个实数集到另一个实数集的映射

1）自变量、因变量、定义域、值域

函数可记作：y = f(x),x∈D
其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作D~f~,即D~f~ = D，函数值f(x)所构成的集合称为f的值域，记作R~f~或f(D)

2）定义域的确定

对于有实际背景的函数，其定义域是根据实际背景中的实际意义确定
对于没有实际背景的函数，其定义域是使得函数有意义的实数集合，这种定义域称为函数的自然定义域

3）函数的特性

(1)有界性

设函数f(x)的定义域为D，数集X⊆D，如果存在数k~1~，使得f(x)≤k~1~，对任意一个x∈X都成立，那么称函数f(x)在X上有上界。同理，如果存在数k~2~，使得f(x)≥k~1~，对任意一个x∈X都成立，那么称函数f(x)在X上有下界。
当一个函数既有上界又有下界，称为这个函数有界。

(2)单调性

设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果对于区间I上任意两点x~1~,x~2~,当x~1~＜x~2~时，恒有f(x~1~)＜f(x~2~),那么称f(x)在区间I上是单调增加的。反之，是单调减少的。单调增加和单调减少的函数称为单调函数。

(3)奇偶性

设函数f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任意x∈D，有f(x) = f(-x)恒成立，那么f(x)为偶函数。如果有f(x) = -f(-x)恒成立，那么，那么f(x)为奇函数。

(4)周期性

设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个正数l，使得对于任一x∈D有(x+l)∈D，且f(x+l) = f(x)恒成立，那么f(x)为周期函数，l为f(x)的周期，一般情况下周期是指最小正周期。
并非每个周期函数都有最小正周期，反例：迪利克雷函数

4）反函数和复合函数

设函数f:D →f(D)是单射，则它存在逆映射f^-1^:f(D)→D，称此映射f^-1^为函数f的反函数。
按此定义，对于每个y∈f(D)，有唯一的x∈D，使得f(x)=y，于是有f^-1^(y)=x。

设函数f(u)的定义域为D~f~，函数u=g(x)的定义域为D~g~，其值域R~g~⊆D~f~，则可确定函数y = f[g(x)]，x∈D~g~,此时构成的函数为复合函数。

5）函数的极限

在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。

(1)定义

定义1 设函数f(x)在点x~0~的某一去心邻域内有定义，如果存在常熟A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ ，使得当不等式满足0<|x-x~0~|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，那么常数A叫做函数f(x)的极限。

定义2 设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义。如果存在常数A，对于任意给定正数ε，总存在正数X，使得当x满足不等式|x|>X时，对于的函数值f(x)都满足|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限

(2)性质

定义1 如果函数极限存在，那么函数的极限唯一（函数极限唯一性）

定义2如果函数在某一点x~0~的极限为A，那么存在常数M>0和δ>0，使得当0<|x-x~0~|<δ时，有|f(x)|≤M（函数极限局部有界性）

定义3如果函数f(x)在x~0~的极限为A，且A>0（或A<0），那么存在常数δ>0，使得当0<|x-x~0~|<δ时，有f(x)>0（或f(x)<0）（函数极限局部保号性）

定义3'

4.数列

按照某一法则，对每个n∈N~+~，对于一个确定的实数x~n~，这些实数按照下标n排列得到一个序列，就叫做数列，记作{ x~n~ }。

1）数列极限

设{ x~n~ }为一数列，如果存在常熟a，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|x~n~-a|<ε都成立，那么就称常数a是{ x~n~ }的极限，或称数列{ x~n~ }收敛于a。

2）收敛数列性质

(1)极限的唯一性

如果数列{ x~n~ }收敛，那么它的极限唯一

(2)收敛数列的有界性

如果数列{ x~n~ }收敛，那么它一定有界

(3)收敛数列的保号性

如果{ x~n~ }的极限为a，且a>0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时，都有{ x~n~ }>0（或{ x~n~ }<0）
如果数列{ x~n~ }从某项起有X~n~≥0（或X~n~≤0），且该数列的极限为a，那么a≥0（或a≤0）

(4)收敛数列与其子数列之间的关系

如果数列{ x~n~ }收敛于a，那么它的子数列也收敛于a